New PDF release: Algebra

By Patrik Hubschmid

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Dr ∈ R \ {0} heißen die Elementarteiler der Matrix A. Um die Existenz der Smithschen Normalform beweisen zu k¨onnen, beachten wir zun¨achst, ¨ dass folgende elementare Zeilen- und Spaltenoperationen die Aquivalenzklasse einer Matrix in Matm×n (R) invariant lassen: (i) Vertauschung von zwei Zeilen (ii) Vertauschung von zwei Spalten (iii) Addition eines skalaren Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile (iv) Addition eines skalaren Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte (v) Multiplikation einer Zeile mit einer Einheit r ∈ R× (vi) Multiplikation einer Spalte mit einer Einheit r ∈ R× ¨ Diese Operationen lassen die Aquivalenzklasse einer Matrix in Matm×n (R) invariant, weil (i), (iii), (v) durch Multiplikation von links mit einer Matrix in GLm (R) und (ii), (iv), (vi) durch Multiplikation von rechts mit einer Matrix in GLn (R) realisiert werden k¨onnen.

N ist weiter bi ganz u ¨ber A und daher auch u ¨ber A[b1 , . . , bi−1 ], weshalb A[b1 , . . 55 eine endliche A[b1 , . . , bi−1 ]Algebra ist. 57, dass A[b1 , . . , bn ] eine endliche A-Algebra ist. 56 ist diese insbesondere auch ganz. 59 (Transitivit¨at der Ganzheit). Ist B eine ganze A-Algebra und C eine ganze B-Algebra, so ist C auch als A-Algebra ganz. Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass jedes c ∈ C ganz u ¨ber A ist. Nach Voraussetzung ist ein solches c ganz u ¨ber B, es gibt also ein normiertes Polynom f (X) = X n + bn−1 X n−1 + · · · + b1 X + b0 ∈ B[X] mit f (c) = 0.

Dk bis auf Assoziierte eindeutig durch M bestimmt sind. 46 gleich der minimalen Anzahl Erzeugenden von M ist, also eindeutig durch M bestimmt ist. Weiter bemerken wir, dass f¨ ur x ∈ R \ {0} xM := {xm : m ∈ M } ein Untermodul von M ist, der zu x(R/d1 R) × · · · × x(R/dk R) × (xR)r isomorph ist. Dabei gilt xR ∼ ur l = 1, . . , k = R und f¨ x(R/dl R) ∼ = R/Il mit Il := {y ∈ R : dl |xy}, weil R → x(R/dl R), y → xy + dl R ein surjektiver RModulhomorphismus mit Kern Il ist. Somit gilt f¨ ur x ∈ R \ {0} xM ∼ = R/I1 × · · · × R/Ik × Rr und I1 ⊃ · · · ⊃ Ik , wobei f¨ ur l = 1, .

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Algebra by Patrik Hubschmid

by Kenneth

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